【中華百科全書●科學●貝色函數】
貝色函數（BesselFunctions）首先是在研究平面運動的Kepler方程式中被提出來研究，而後在西元一八二四年被貝色（Bessel）予以有系統地研究。
將Helmholtz方程式△Ψ k2Ψ=0以圓柱座標為變數分離後得到Bessle’s微分方程式：(方程式1)。
此式有兩線性不相依的解：(方程式2)及(方程式3)分別稱為第一類及第二類的Hankel函數。
上式中L1為由(－π＋0)＋i∞到－0－i∞的一曲線，而L2為由＋0－i∞到(π－0)＋i∞的一曲線。
定義Jv(z)＝（Hv(1)(z)＋Hv(2)(z)）/2，及Nv(z)＝Yv(z)＝（Hv(1)(z)－Hv(2)(z)）/2i，分別稱為貝色函數及Neumann函數。
亦有稱Jv(z)為第一類的貝色函數，Nv(z)為第二類的貝色函數，Hv(z)為第三類的貝色函數。
Jv,Nv及Hv均滿足下列公式：(方程式4)。
一般而言，滿足上述兩公式的函數稱為圓柱函數。
任一圓柱函數Cv(z)均可表為Cv(z)＝a1(v)Hv(1)(z)＋a2(v)Hv(2)(z)，式中a1(v)及a2(v)為對v為週期1的週期函數。
若v＝n為一整數，則J－n(z)＝(－1)nJn(z),N－n(z)＝(－1)nNn(z)。
若ｖ不為一整數，則Jv及J－v為不相依的函數。
此外，Jv(zeimπ)＝eimvπsJv(z)，J－v(zeimπ)＝e－imvπsJ－v(z)。
若ｖ＝ｎ為一整數，且Rez>0，則(方程式5)，上式右邊的積分式稱為貝色積分。
貝色函數有下述重要公式：(方程式6)。
式中L為一由無窮遠點以幅角（Argument）－π出發，以正向圍繞原點之後，而以幅角π返回無窮遠點的一個周線（Contour）。
（林正英）
引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10195
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