【中華百科全書●科學●凸集合】

楊籍富

【中華百科全書●科學●凸集合】

 

凸集合所要表明的性質，其實不能用凸這個字來正確表達。

 

因為一個ConvexSet按定義是指這集合中者包含兩點x，y，則必定包含這兩點連線上的所有點Z＝(l－t)x＋ty，其中0≦t≦l。

 

因此凸這字所界定的點集合，其實並非凸集合。

 

如果在平面中考慮一個凸集合，以α(s)代表其邊界的封閉簡單(Simple)曲線，其中變數s代表弧長，則α(s)在每點的切向量T(s)皆為單位長，因此T(s)對s的變化率，其實只不過是這切向量之角度θ(s)的變化率，可見α(s)的曲率(見方程式1)，有定理證明。

 

若α(s)為封閉簡單曲線，則α(s)圍成一個凸集合當且唯當k(s)不變號。

 

特別如果k(s)恆不為零時，這凸集合稱為卵形(Oval)集合，對這種集合我們自然就聯想起古老的四頂點定理，說明一條卵形封閉簡單曲線最少有四個頂點。

 

凸性質在泛函分析中，具有極大的用途，大概常用來保證具某性質的點存在。

 

例如設C為凸集合，f為C上的實值函數，滿足對任意C中之點x，y以及0≦t≦l，都有f（(l－t)x＋ty）≦(l－t)f(x)＋tf(y)，則f稱為C上的凸函數。

 

如果再假設f可微分而有C中之點x0，使得df(x0)＝0，則f(x0)為f(C)中所有值的絕對極小值。

 

有很多有關凸性質的好書可讀：AMSProceedingⅦ，Convexity；

 

J.Stoer及C.Witzgall的Convexity,Optimization；

 

Lyustesick的ConvexFiguresandPolyhedra等等。

 

（蕭欣忠）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=891