【中華百科全書●科學●函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●函數】

 

在現代數學中。

 

「函數」（Function）與「映射」（Mapping）幾乎可視為同義詞。

 

所謂「變元」、「變量」x指無固定指謂，但可遍歷一個類或集合（或討論範圈）X內的對象的符號，X稱為此變元或變量之域。

 

變元X之域內的元素叫做此變元X之值。

 

若X之域為實數所形成的集合或複數（ComplexNumber）所成的集合，則（在現代數學中）稱為「實變數」（RealVariable）或「複變數」（ComplexVariable）。

 

指謂（X的）特殊元素而意義固定的符號稱為常元或常量。

 

給予兩個類或集合X、Y，設X與Y各為變元x與y之域，我們稱：f是由X至Y的函數（映射）〔用記號f：X→Y表示〕，若f是一個指示X與Y之元素間之規則，並且此規則合於下列要求：對X之任何元素x，可在Y對應一個唯一的元素y；

 

對X之同一元素x不可對應Y的兩個或兩個以上的元素y1,y2。

 

這個規則可以用記號f：x→y表示。

 

在此，y是由x唯一決定的，通常y記作f（x）。

 

因此，「f是由X至Y的函數（映射）」可用下式來表示：f：X→Yx→f（x）我們稱X是此函數f之定義域（Domain）。

 

X之任何元素是此函數f之自變元（IndependentVariable），y或f（x）為此函數之因變元（DependentVariable）或「f在x之值」。

 

我們也可用集合論的觀點來敘述「函數」之定義與相關的概念。

 

我們稱：R是類或集合X上的n元關係（n為正整數，n≧1）若RXn。

 

f是一個映射，若f是一個（2元）關係，並且對任何x、y、z，若序對＜x，y＞，＜x，z＞f，則y=z。

 

此z記作f（x）。

 

若f是一個映射，設Dom（f）={x：存在Y使＜x,y＞f}（f之定義域）Ran（f）={y：存在Y使＜x，y＞f}（f之值域）f：X→Y若X=Dom（f），Ran（f）Yf：X→Y〔f是一個蓋射（Surjection）〕，若X=Dom（f），Ran（f）=Yf：X→Y〔f是一個單射（Injection）〕，若：對任何x1,x2，若＜x1，y＞，＜x2，y＞f則x1=x2f：X→Y〔f是一個雙射（Bijection）〕，若f：XY，且f：XY。

 

若f：X→Y，xX，＜x，y＞f，則y記作f（x）f：X→Y是一個常值映射，若對X之所有元素x，y，f（x）=f（y）。

 

f：X→X是一個等值映射，若對X之所有元素，f（x）=x。

 

f是一個n變元映射，若有X使f：Xn→Y。

 

如果f與g都是自變元t的函數，並且x=f（t），y=g（t），若視y為x之函數，則稱t為此函數之參數（參變元，Parameter）。

 

若函數f之值域為集合C，而此函數之自變元為t，且x=f（t），y=g（t），則稱（方程式）x=f（t），y=g（t）為C參數表示法。

 

若I為一個有序集，則稱映射（函數）f：I→X為一系（Family），稱I為一指集（IndexedSet）。

 

若對I之每個元素i，f（i）=xi，此時系f（映射f）將記作；

 

若I為有限集{i1，i2…，in}，則f記作＜＞。

 

如果I為所有自然數（或所有正整數）的集合，則稱為一序列（Sequence），xi稱為此序列之第i項。

 

若此序列之每一項是一個數、點、函數或集合，則序列各稱為「數列」、「點列」、「函數列」（函數序列）或「集合序列」等等。

 

若J為指標集I之子集(JI)，且I為所有自然數（所有正整數）之集合，且k1

 

現代數學分析（MathematicalAnalysis）是一支研究實變數函數與或複變數函數之各種性質的數學理論，上述映射（函數）之定義多遍涉實數，或複數，或這些變數之函數。

 

這是數學中一個重要部門。

 

（洪成完）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=8571