【中華百科全書●科學●無限】

楊籍富

【中華百科全書●科學●無限】

 

茲對數學上有關無限（Infinit）一詞，例舉數端闡明之。

 

一、無限大與負無限大：設函數T定義於D上。

 

若對於任意數M，存在一a之鄰域U，使滿足當xU∩D，且x≠a時，恆有f（x）>M，則稱x趨近於a時，f（x）趨近於無限大。

 

如將上述不等式之方向改變，則稱，當x趨近於a時，f（x）趨近於負無限，而分別以下述之記號表示之：（方程式一）二、無限序列（InfiniteSequence）設函數f之定義域N為所有自然數時，則稱f為一無限序列，由於其函數值可以依序而列出為f（1）,f（2）,…f（n）,…，且其項數為無限多項，故無限序列經常指f（1）,f（2）,…f（n）,…而言，為方便計，常以〈方程式二〉表之。

 

若存在一數l，使對於任意正數ε，恆存在一自然數m使滿足，當nm時，恆有∣f（n）－l∣<ε，則稱序列〈方程式三〉收斂於l，此時，l亦稱序列〈方程式四〉之極限。

 

三、無限級數（InfiniteSeries）一無限序列〈方程式五〉，其每相鄰兩項以「＋」結合起來，即a1 a2 a3 … an …。

 

簡記為〈方程式六〉，便稱為一無限級數。

 

若置〈方程式七〉，且〈方程式八〉，則稱無限級數〈方程式九〉為收斂，並規定〈方程式十〉，否則〈方程式十一〉稱為發散，即〈方程式十二〉無和可言。

 

四、無限集合（InfiniteSet）若集合A中存在一真子集（ProperSubset）B，使A與B之間有一一對應，則集合A稱為無限集合。

 

例如所有正整數之集合Z 與所有正偶整數構成之集合B之間有一一對應，且B為Z 之真子集，故Z 為無限集合。

 

無限集合可分成兩類，其一為可與所有自然數成一一對應者，稱為可數集合（CountableSet），否則稱為不可數集合，如所有實數所成之集合是也。

 

（楊國勝）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=8834