【中華百科全書●科學●勢論】

楊籍富

【中華百科全書●科學●勢論】

 

一、牛頓(Newton)勢在力學中，勢函數就是一個n元x1,…,xn的函數u，其負梯度向量〈方程式１〉為n維(n³2)歐氏空間Rn中的一個力場。

 

例如給定Rn中一點P及一測度μ，由下列積分定義的函數〈方程式２〉及〈方程式３〉(式中？

 

表示P、Q兩點的距離)就是勢函數的典型例子，分別稱為對數勢與牛頓勢。

 

有些作者只稱在R3中的積分〈方程式４〉為牛頓勢函數。

 

通常測度μ取為有緊緻支臺的Radon測度。

 

這些勢函數在Rn中是優調和的，而在μ的支臺之外是調和的。

 

反之，調和函數可以表示為一個單層勢函數與一個雙層勢函數的和(層的意義見下段)。

 

由於這種勢函數與調和函數的密切關係，有時，勢論就意指調和函數的研究。

 

以下的討論限在R3中。

 

設測度μ滿足dμ=ρdτ，式中ρ表示充分光滑的密度及dτ為體積元素。

 

則μ的勢ｕ滿足Poisson方程式Du=-4πρ。

 

如果μ的支臺位在一曲面S上，以及dμ=ρdσ，ρ為密度而dσ為S的面積元素，則μ的牛頓勢u稱為單層勢(或單一分布)。

 

假如ρ在S上連續，則ｕ也在整個空間中連續，而當動點P沿S在一點Ｐ0的法線趨於Ｐ0時，ｕ在P點依此法線的方向導數即趨於〈方程式５〉因此，當P沿法線移動通過Ｐ0，方向導數在Ｐ0有一跳躍值-4πρ(Ｐ0)，如果ρ在Ｐ0ÎS滿足Ｈolder條件，則當動點P沿法線趨於Ｐ0時，在P點依在Ｐ0的任一固定切線方向的導數都有一確定的極限值。

 

積分〈方程式６〉稱為雙層勢(或二重分布)。

 

如果ρ在S上連續，則u在Ｐ0沿法線的兩個方向的極限都存在，分別等於2πρ(Ｐ0) u(Ｐ0)及-2πρ(Ｐ0) u(Ｐ0)。

 

如果ρ在S上為C2級，則當P趨於S上一點時，u的每個偏導數都有一個有限的極限值。

 

二、一般勢勢的古典定義可以擴展如下：設一空間Ω上的測度μ(³0)及Φ(P,Q)為積空間Ω×Ω上的一個實數值函救。

 

當積分∫Φ(P,Q)dμ(Q)在每一點PΩ都有意義時，則稱為μ的勢，具有核函數Φ，並記為Φ(P,μ)或Φμ(P)。

 

如果對於測度μ,ν³0,(μ,ν)=∫∫Φ(P,Q)dμ(Q)dν(P)=∫Φ(P,μ)dν(P)存在，則稱為μ與ν的相互能量，並將(μ,μ)稱為μ的能量。

 

為免定義過於廣泛，常假設Ω為局部緊緻的Hausdorff空間，Φ為Ω×Ω上的下連續函數，-∞<Φ£∞以及μ與ν皆為有緊緻支臺的非負Radon測度。

 

當Ω=Rn時，有核函數Φ(P,Q)=PQ-α(0<α<n)的勢稱為α階(也有人稱為n-α階)的勢，或Riesz勢。

 

(繆龍驥)

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=8844