【中華百科全書●科學●判別式】

楊籍富

【中華百科全書●科學●判別式】

 

一、二次方程之判別式實係數一元二次方程式ax2 bx c=0，其判別式（Discriminant）為D=b2-4ac；

 

若D＞0，則有二個相異實根，D=0，則有二個相等實根D＜0，則有一對共軛虛根。

 

二、三次方程之判別式實係數一元三次方程式ax3 bx2 cx d=0，其判別式為D=b2c2＋18abcd－4ac3－4b3d－27a2d2若此方程式有三個相異貸根，則D＞0；

 

若有三個相異實根且其中至少有二根相等，則D＞0；

 

若有一實根及一對共軛虛根，則D＜0。

 

三、多項式方程之判別式多項式方程式f（x)=a0xn＋a1xn－1 … an=0，設其根為αi，i=l，2，…n，若π（αi－αj）2代表連乘積（α1－α2）2（α1－α3）2…（α1－αn）2（α2－α3）2…（αn－1－αn）2，則D=a2on－2π（αi－αj)2，稱為方程f（x）＝0之判別式，此方程式有重根之充要條件為D=0。

 

四、二元二次方程式之判別式方程式ax2 2bxy cy2 2dx 2ey f=0之判別式為(方程式1)設δ=b2－ac，方程式之圖形即可判別如下：（一）若△≠0，則δ＞0表一個雙曲線，δ=0表一個拋物線，δ＜0表一或虛橢圓。

 

（二）若Δ＝0，則δ＞0表二相交直線，δ=表二平行或重合直線，或無軌跡，δ＜0表一點橢圓。

 

五、二次式之判別式設A=（aij)為一個n階之方陣，(方程式2)。

 

表一個二次式，則行列式｜A｜稱為二次式Q之判別式。

 

若｜A｜=0，則Q稱為一個退化的二次式。

 

六、微分方程之判別式設微分方程式f（x，y，p）=0中，p=y'（x），自f（x，y，p）=0與(方程式3)中消去p，所得之結果即稱為p-判別式。

 

若令此p-判別式為0，其圖形即為此微分方程之解的所有的包絡（Envelope），亦可能為一尖點軌跡（CuspLocus）或一切點軌跡（TacLocus）。

 

例如微分方程式p2（2－3y)2=4（1－y)其一般解為（x－c)2=y2（1－y)。

 

又p－判別式為（2－3y）2（1－y）=0，則此圖形包含一個包絡線l－y=0一個切點軌跡2－3y=0。

 

（李沖）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10197